在上一期的算法科普中，我已经探讨了lmpc的发展历程。然而，上一期并未深入探讨lmpc的各种分支，因此本期将重点介绍两种运动学层面的lmpc控制器和一种动力学层面的lmpc控制器。

一种常见的运动学层面的LMPC控制器的预测模型是直接对运动学模型进行雅克比线性化处理，如[1]中所述：

另一种运动学层面的LMPC控制器的预测模型则是通过对车辆或移动机器人的运动学模型进行几何推导获得，如[2]中所述：

而[3]中则为：

这些预测模型的共同点是通过当前误差来预测未来误差，因此在速度较快或参考路径曲率变化幅度较大时，性能会有所下降，如[4]中所述的高速情况：

动力学层面的LMPC控制器的预测模型通常如[1]中所述：

或如[5]中所述：

[5]中的模型与[2-3]中的运动学预测模型具有某些相似特征，都是非全局的车身坐标系下的模型。

上述动力学模型与运动学模型存在一些差异，运动学模型以误差作为状态量，而动力学模型则可以直接以车辆的车身坐标等状态作为状态量。这种差异的原因是，如果运动学模型以车身坐标等状态作为状态量，那么A矩阵的二次至N次方均为零矩阵，即预测模型在第二个预测步数以后会严重失真，甚至可能导致控制失败。

动力学层面的LMPC控制器的预测模型具有的这一特征，使得它能够先预测未来的状态，然后根据预测获得的状态和参考路径计算未来的误差，从而避免了运动学层面的LMPC控制器只能通过当前误差预测未来误差的局限性。然而，也需要认识到，除了[5]中提到的轮胎参数会影响预测的精确性外，小角度假设（即假设sinφ=φ，cosφ=1）等线性化过程在预测时域较长时也会产生较大的影响。

参考文献：

[1] 龚建伟, 姜岩, 徐威. 无人驾驶车辆模型预测控制[M]. 北京理工大学出版社, 2014.

[2] Bai G, Meng Y, Liu L, et al. Review and comparison of path tracking based on model predictive control[J]. Electronics, 2019, 8(10): 1077.

[3] Nayl T, Nikolakopoulos G, Gustafsson T. A full error dynamics switching modeling and control scheme for an articulated vehicle[J]. International Journal of Control, Automation and Systems, 2015, 13(5): 1221-1232.

[4] Bai G, Liu L, Meng Y, et al. Path tracking of mining vehicles based on nonlinear model predictive control[J]. Applied Sciences, 2019, 9(7): 1372.

[5] 王国栋, 刘洋, 李绍松, 等. 基于轮胎状态刚度预测的极限工况路径跟踪控制研究[J/OL]. 自动化学报:1-11 [2025-09-15]. https://www./link/cb38763404fb5d36d5f4759acc5ec84a.

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